Mit dem Ziel, die Gleichungen der Hydrodynamik als Grenzdynamik von mikroskopischen Vielteilchensystemen abzuleiten, wurden, vor allem angeregt durch [2], verschiedene Modelle untersucht.
Bei den meisten handelt es sich um stochastische Entwicklungen, da der stochastische Anteil glättend wirkt. Deterministische Entwicklungen wurden in [3] und [5] behandelt. Diese Modelle haben eine Erhaltungsgröße, die Teilchenzahl bzw. Masse, deren makroskopische Dynamik im hydrodynamischen Limes unter diffusiver Skalierung abgeleitet wird.
Stochastische Gittersysteme mit Erhaltung von Masse und Impuls wurden in [1] und [4] untersucht. Ihre Dynamik besteht aus einem Ausschlußprozeß mit
Stößen, die Geschwindigkeiten austauschen. Im inkompressiblen Limes
erhält man die inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen.
In meinem Vortrag werde ich ein deterministisches Teilchensystem mit nächster Nachbar Wechselwirkung und einer zusätzlichen geschwindigkeitsabhängigen Kraft, die lokale Glättung der Geschwindigkeiten bewirkt, vorstellen. Dieses System hat zwei Erhaltungsgrößen, Masse und Impuls. Ihre Grenzdynamik unter Euler Skalierung ist durch die kompressiblen Navier-Stokes Gleichungen mit dichteabhängiger Viskosität gegeben. In Ermangelung eines geeigneten Eindeutigkeitssatzes für die Lösung folgt mit Hilfe von Kompaktheitseigenschaften die Konvergenz von Teilfolgen gegen eine Lösung.
[1] | Esposito, R., Marra, R., Yau, H.T.: Navier-Stokes Equations for Stochastic Lattice Gases. Commun. Math. Phys. 182, 395-456 (1996) |
[2] | Guo, M.Z., Papanicolaou, G.C., Varadhan, S.R.S.: Nonlinear Diffusion Limit for a System with Nearest Neighbor Interactions. Commun. Math. Phys. 118, 31-59 (1988) |
[3] | Mürmann, M.G.: The Hydrodynamic Limit of a One-Dimensional Nearest Neighbor Gradient System. J. Stat. Phys. 48, 769-788 (1987) |
[4] | Quastel, J., Yau, H.T.: Lattice Gases, Large Deviations and the Incompressible Navier-Stokes Equation. Ann. Math. 148 , 51-108 (1998) |
[5] | Uchiyama, K.: Scaling Limit for a Mechanical System of Interacting Particles. Commun. Math. Phys. 177, 103-128 (1996) |
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