15. ÖMG-Kongress
Jahrestagung der Deutschen Mathematikervereinigung

16. bis 22. September 2001 in Wien

Sektion 5 - Geometrie
Donnerstag, 20. September 2001, 17.30, Hörsaal 50

 

Extremalpunkte sternförmiger Mengen

Walter Wenzel, TU Chemnitz (Koautor: Horst Martini)

 

Sei $S\subseteq\mathbb{R}^n$ kompakt und sternförmig, und sei $K$ eine kompakte und konvexe Teilmenge des konvexen Kerns $ck(S)$ von $S$ mit $K\neq\emptyset$. Ein Punkt $q_0\in S\setminus K$ heißt Extremalpunkt von $S$ modulo $K$, falls für alle $p\in S\setminus (K\cup {q_0})$ gilt: $q_0\not\in {\rm conv} (K\cup{p})$. Betrachte folgende Operator $\sigma_K:P(\mathbb{R}^n \setminus K)\rightarrow P (\mathbb{R}^n \setminus K)$: Jeder zu $K$ disjunkten Menge $A$ werden alle diejenigen Punkte $p$ des Komplements von $K$ zugeordnet, die auf irgendeinem Strahl liegen, der in einem Punkt aus $A$ beginnt und die konvexe Menge $K$ nicht vor, aber nach Durchlaufen von $p$ schneidet. Aus der Konvexität von $K$ folgt, dass $\sigma_K$ ein Hüllenoperator ist. Außerdem erhalten wir das folgende Analogon zum Satz von Krein-Milman: Ist $S_0$ die Menge der Extremalpunkte von $S$ modulo $K$, so ist $\sigma_K(S_0)=S \setminus K$.

E-Mail:

walter@mathematik.tu-chemnitz.de

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