15. ÖMG-Kongress
Jahrestagung der Deutschen Mathematikervereinigung

16. bis 22. September 2001 in Wien

Sektion 5 - Geometrie
Montag, 17. September 2001, 18.00, Hörsaal 50

 

Kugelpackungen und Isoperimetrie

Achill Schürmann, Universität Siegen (Koautoren: Peter Scholl, Jörg M. Wills )

Die Mittelpunkte $ X_n=\{x_1,\dots,x_n\}$ einer endlichen Packung mit Kugeln vom Radius $ r$ im $ 3$-dimensionalen Euklidischen Raum definieren ein Packungspolytop $ P=\mathrm{conv}(x_1,\dots,x_n)$. Mit einem Satz von FOLKMAN und GRAHAM [1] zeigen wir

$\displaystyle F(P)\geq r^2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \mathrm{card}(X_n\cap\mathrm{bd}(P)) $

für die Oberfläche $ F(P)$ nicht ,,spindelförmiger`` Packungspolytope $ P$. Dabei gilt Gleichheit genau dann, wenn sich der Rand $ \mathrm{bd}(P)$ von $ P$ vollständig in reguläre Dreiecke der Kantenlänge $ 2r$ zerlegen läß t, so daß die Ecken der Dreiecke alle zu $ X_n$ gehören. Diese oberflächenminimalen Packungspolytope bzw. Kugelpackungen werden klassifiziert. Es stellt sich heraus, daß viele von ihnen, z.B. die sogenannten Deltaeder, Lösungen verschiedener Packungsprobleme sind, so etwa bezüglich der parametrischen Dichte (vgl. [2]). Auß erdem ordnen sich die Atome in Microclustern vielfach in dieser Form an.

[1] J. H. Folkman, R. L. Graham, A packing inequality for compact convex subsets of the plane, Canad. Math. Bull., 12 (1969), 745-752.
[2] U. Betke, M. Henk and J. M. Wills, Finite and infinite packings, J. reine angew. Math., 453 (1994), 165-191.

E-Mail: achill@math.uni-siegen.de
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