15. ÖMG-Kongress
Jahrestagung der Deutschen Mathematikervereinigung

16. bis 22. September 2001 in Wien

Sektion 5 - Geometrie
Donnerstag, 20. September 2001, 16.30, Hörsaal 50

 

Zerlegungsgleichheit topologischer Scheiben - Die Quadratur des Kreises

Christian Richter, Friedrich-Schiller-Universität Jena

 

Kann man eine Kreisscheibe $K$ und ein dazu flächengleiches Quadrat $Q$ derart in endlich viele Teilmengen $K= K_1 \cup \ldots \cup K_n$ bzw. $Q= Q_1 \cup \ldots \cup Q_n$ zerlegen, daß jeweils $K_i$ durch eine geeignete euklidische Isometrie auf $Q_i$ abbildbar ist, $1 \le i \le n$? Diesem Problem von A. Tarski nähern sich die Autoren von [1] unter Benutzung eines elementaren Zerlegungsbegriffs: Als Zerlegungsteile $K_i$ bzw. $Q_i$ sind nur topologische Scheiben zugelassen. Die Scheiben einer Zerlegung dürfen sich in Randpunkten schneiden, aber keine inneren Punkte gemeinsam haben. Unter diesen Bedingungen wird die o.g. Frage negativ beantwortet.

Wir modifizieren das Problem und erhalten sowohl positive als auch negative Antworten, indem wir anstelle der Isometrien äquiaffine Abbildungen, Ähnlichkeitsabbildungen oder allgemeine affine Abbildungen betrachten. Außerdem fragen wir nach Zerlegungen, bei denen die verwendeten topologischen Scheiben zusätzlich gewisse Glattheitsbedingungen (rektifizierbarer Rand, stückweise differenzierbarer Rand) erfüllen. Darüber hinaus studieren wir nicht nur die Zerlegungsgleichheit von Kreis und Quadrat, sondern die Zerlegungsgleichheit beliebiger topologischer Scheiben.

[1]	L. Dubins, M.W. Hirsch, J. Karush: Scissor congruence, Israel J. Math. 1 (1963), 239-247.
[2]	A. Tarski: Probléme 38, Fund. Math. 7 (1925), 381.

E-Mail:

richterc@minet.uni-jena.de

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