15. ÖMG-Kongress
Jahrestagung der Deutschen Mathematikervereinigung

16. bis 22. September 2001 in Wien

Sektion 5 - Geometrie
Montag, 17. September 2001, 16.30, Hörsaal 50

 

Additive Funktionale für Polytope

Monika Ludwig, TU Wien

 

Die Klassifizierung additiver Funktionale am Raum der konvexen Körper ist ein klassischer Gegenstand der Geometrie. Hadwigers berühmter Funktionalsatz besagt, daß die einzigen bewegungsinvarianten, stetigen additiven Funktionale auf dem Raum der konvexen Körper im $ d$-dimensionalen euklidischen Raum die Linearkombinationen der inneren Volumina (Quermaß integrale) sind. Ein Funktional $ \mu$ heiß t hier additiv, wenn

$\displaystyle \mu(K)+\mu(L)=\mu(K\cup L)+ \mu(K\cap L)$

für alle konvexen Körper $ K$, $ L$ mit $ K\cup L$ konvex gilt.

Von besonderem Interesse sind Funktionale, die auch invariant bzgl. der Gruppe der volumenserhaltenende linearen Transformationen (SL($ d$)) sind. Unter den inneren Volumina sind das genau die Euler Charakteristik und das Volumen. Hier geben wir eine Klassifizierung aller SL($ d$)-invarianten, homogenen und nicht negativen Funktionale am Raum der konvexen Polytope, die den Ursprung enthalten. Die einzigen Funktionale mit diesen Eigenschaften sind die Euler Charakteristik, das Volumen und das Volumen des Polarkörpers.

E-Mail: mludwig@mail.zserv.tuwien.ac.at

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