15. ÖMG-Kongress
Jahrestagung der Deutschen Mathematikervereinigung

16. bis 22. September 2001 in Wien

Sektion 5 - Geometrie
Dienstag, 18. September 2001, 17.30, Hörsaal 50

 

Schwach diskontinuierliche Bewegungsgruppen

Benno Klotzek, Universität Potsdam

 

Die Charakterisierungen diskontinuierlicher Bewegungsgruppen $ \Bbb{B}$ von Hilbert/ Cohn-Vossen - lokale Endlichkeit der Orbits, kurz: LEO - oder L. Fejes Tóth - Isoliertheit der Punkte im Orbit, kurz: IPO -, in euklidischen Räumen endlicher Dimension äquivalent, können für metrische Räume verschärft und abgeschwächt werden: Mit den Abkürzungen $ card_{PXr}:= card~ (U_r (X)\cap P^{\Bbb{B}})$ und $ F(\Bbb{B}):=\{Y:Y^{\Bbb{B}}= \{Y\}\}$ sei

$ D_0$. Endlichkeit der Orbits (EO) $ D'_0$. \begin{displaymath}\begin{array}[t]{l} \exists \\ {\scriptstyle P \not\in F(\Bbb{B})} \end{array} ~~~~~~~~card~ P^{\Bbb{B}} < \infty\end{displaymath}
$ D_1$. \begin{displaymath}\begin{array}[t]{l} \forall \\ {\scriptstyle P,X, r>0} \end{array} ~~~~~card_{PXr} < \infty\end{displaymath} (LEO) $ D'_1$. \begin{displaymath}\begin{array}[t]{l} \exists \\ {\scriptstyle P \not\in F(\Bb... ...style X, r>0} \end{array} \hspace*{-0,3cm} card_{PXr} < \infty\end{displaymath}
$ D_2$. \begin{displaymath}\begin{array}[t]{l} \forall \\ {\scriptstyle P} \end{array} ... ...} \exists \\ {\scriptstyle r>0} \end{array} ~~~~~card_{PPr} = 1\end{displaymath}   (IPO) $ D'_2$. \begin{displaymath}\begin{array}[t]{l} \exists \\ {\scriptstyle P \not\in F(\Bb... ...[t]{l} \exists \\ {\scriptstyle r>0} \end{array} card_{PPr} =1\end{displaymath}
$ D_3$. \begin{displaymath}\begin{array}[t]{l} \exists \\ {\scriptstyle X} \end{array} ... ...{l} \exists \\ {\scriptstyle r>0} \end{array} card_{PXr} \leq 1\end{displaymath} $ D'_3$. \begin{displaymath}\begin{array}[t]{l} \exists \\ {\scriptstyle P \not\in F(\Bbb{B}),X,r>0} \end{array} card_{PXr} \leq 1\end{displaymath}

Für neue schwach diskontinuierliche Bewegungsgruppen ($ D'_3-$Gruppen) enthält $ \Bbb{B}$ infinitesimale Bewegungen, wobei kein Orbit dicht ist. Der Zuwachs an Modellen wird für $ \Bbb{E}^2$ und $ \Bbb{E}^3$ (mit und ohne kristallographische Beschränkung) dargestellt.
Ein knapper Überblick über Resultate, die in Potsdam für nichteuklidische Geometrien erzielt wurden, soll den Vortrag abrunden.

E-Mail: klotzek@rz.uni-potsdam.de

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