15. ÖMG-Kongress
Jahrestagung der Deutschen Mathematikervereinigung

16. bis 22. September 2001 in Wien

Sektion 2 - Zahlentheorie
Montag, 17. September 2001, 17.00, Hörsaal 41

 

Über die Gitterdiskrepanz konvexer ebener Bereiche

Werner Georg Nowak, Universität für Bodenkultur, Wien

 

Es sei $B$ ein konvexer ebener Bereich mit glatter Randkurve von endlicher, nichtverschwindender Krümmung. Für einen groß en reellen Parameter $t$ betrachtet man die ,,Gitterdiskrepanz`` $P_B(t)$ (Zahl der Gitterpunkte minus Flächeninhalt) des linear vergröß erten Bereiches $t B$. Es ist bekannt, daß

$$P_B(t) \ll t^{46/73 + \epsilon}\,, \quad \liminf_{t\to\infty} \frac{P_B(t)}{t^{1/2}(\log t)^{1/4}} < 0\,,$$

und

$$\int_0^T (P_B(t))^2 dt \sim C_B \, T^2$$

gilt. Martin Huxley [1] stellte die Frage, wie die recht kleine mittlere Ordnung (im Sinne der letzten Formel) zustande kommt. Besteht zwischen den $P_B(t)$-Werten für verschiedene $t$ eine Zusammenhang? - ,,Hat der Gitterrest ein Gedächtnis? `` Er selbst verneinte dies partiell, indem er

$$\int_T^{T+1} (P_B(t))^2 dt \ll T \log T$$

bewies. Man kann nun zeigen [3], daß diese Schranke sogar für ein Intervall der Länge $\log T$ gilt, und daß sich für ein längeres Mittelungs-Intervall das asymptotische Verhalten präzise bestimmen läß t: Für jede Funktion $\Lambda=\Lambda(T)$, die rascher wächst als $\log T$, gilt

$$\int_{T-\Lambda}^{T+\Lambda} (P_B(t))^2 dt \sim 4 C_B\,\Lambda(T)\,T\,.$$

Ein ähnliches Ergebnis erhält man für gewisse, recht allgemeine Bruchteilsummen [4]. Die Methode läß t sich auch auf spezielle zahlentheoretische Funktionen anwenden [2].

[1]	M. Huxley, The mean lattice point discrepancy, Proc. Edinburgh Math. Soc. 38 (1995), 523-531.
[2]	M. Kühleitner and W.G. Nowak, On sums of two $k$-th powers: A mean-square asymptotics over short intervals. Acta arithm., im Druck.
[3]	W.G. Nowak, On the mean lattice point discrepancy of a convex disc, Arch. Math. (Basel), im Druck.
[4]	W.G. Nowak, On fractional part sums: A mean-square asymptotics over short intervals, Preprint.

E-Mail:	nowak@mail.boku.ac.at
Homepage:	www.boku.ac.at/math/

Zeitplan der Sektion   Tagesübersicht   Liste der Vortragenden