15. ÖMG-Kongress
Jahrestagung der Deutschen Mathematikervereinigung

16. bis 22. September 2001 in Wien

Sektion 2 - Zahlentheorie
Donnerstag, 20. September 2001, 17.30, Hörsaal 41

 

Diskriminanten-Vielfachheiten von $p$-Ringklassenkörpern über quadratischen Zahlkörpern mit $p$-Klassenrang $r\ge 2$

Daniel Mayer, Graz

Erklärungen: Wir nehmen an, $f=p^eq_1\ldots q_t$ sei ein $p$-zulässiger Führer eines quadratischen Zahlkörpers $K$ mit modifiziertem $p$-Klassenrang $\sigma\ge 2$. Der $p$-Defekt von $f$ bezüglich $K$ sei $\delta(f)\le 2$. Mit $S$ bezeichnen wir einen Unterraum der Kodimension $2$ des $F_p$-Vektorraumes $V$ der nicht-trivialen $p$-ten Idealpotenzzahlen von $K$, der im Ringraum $V_f$ modulo $f$ enthalten ist, und mit $H_1,\ldots,H_{p+1}$ die $p+1$ Hyperebenen von $V$, die $S$ umfassen. Für jeden Index $\mu=1,\ldots,p+1$ sei ein Positionszähler definiert durch $a_{\mu}=\char93 \{1\le i\le\tau\mid V_{q_i}=H_{\mu}\}$, wobei $\tau=t$ im Fall $e=0$ und $\tau=t+1$ im Fall $e\ge 1$ die Anzahl der Primteiler des Führers $f$ bedeutet und wobei wir formal $q_{t+1}=p^e$ setzen, falls $e\ge 1$ ist. Ferner erklären wir einen Indikator des irregulären Falles als $\omega=1$, falls $e=2$, $p=3$, $d_K\equiv -3({\rm mod} 9)$, und sonst $\omega=0$. $u=\char93 \{1\le i\le\tau\mid V_{q_i}=V\}$ sei die Anzahl der freien und $v=\tau-u$ die Anzahl der restriktiven Führerprimteiler.

Hauptsatz: Die Diskriminanten-Vielfachheit $m_p(d_K,f)$, also die Anzahl der nicht-isomorphen nicht-Galoisschen Köper $L$ vom Grade $p$ mit der gemeinsamen Diskriminante $d_L=(f^2d_K)^{(p-1)/2}$, deren Normalkörper $N$ den quadratischen Körper $K$ umfassen und die Dieder-Gruppe der Ordnung $2p$ als Galois-Gruppe besitzen, ist gegeben durch den Ausdruck

$$p^{\varrho+\omega}(p-1)^u\Bigl[(p-1)^{v-1}+ \sum_{\mu=1}^n(-1)^{v-a_{\mu}}(p-1)^{a_{\mu}}\Bigr]/p^2$$

wobei $n=1$, falls $\omega=1$, $\delta(3)=1$ und o. E. $V_3=H_1$, und sonst $n=p+1$.

[1]	H. Hasse, Arithmetische Theorie der kubischen Zahlkörper auf klassenkörpertheoretischer Grundlage, Math. Zeitschrift 31 (1930), 565-582
[2]	D. C. Mayer, Multiplicities of dihedral discriminants, Math. Comp. 58 (1992), no. 198, 831-847, S55-S58
[3]	D. C. Mayer, Discriminants of metacyclic fields, Canad. Math. Bull. 36 (1993), no. 1, 103-107

E-Mail:	danielmayer@algebra.at
Homepage:	www.algebra.at

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