Erklärungen: Wir nehmen an, sei ein -zulässiger Führer eines quadratischen Zahlkörpers mit modifiziertem -Klassenrang . Der -Defekt von bezüglich sei . Mit bezeichnen wir einen Unterraum der Kodimension des -Vektorraumes der nicht-trivialen -ten Idealpotenzzahlen von , der im Ringraum modulo enthalten ist, und mit die Hyperebenen von , die umfassen. Für jeden Index sei ein Positionszähler definiert durch , wobei im Fall und im Fall die Anzahl der Primteiler des Führers bedeutet und wobei wir formal setzen, falls ist. Ferner erklären wir einen Indikator des irregulären Falles als , falls , , , und sonst . sei die Anzahl der freien und die Anzahl der restriktiven Führerprimteiler.
Hauptsatz: Die Diskriminanten-Vielfachheit , also die Anzahl der nicht-isomorphen nicht-Galoisschen Köper vom Grade mit der gemeinsamen Diskriminante , deren Normalkörper den quadratischen Körper umfassen und die Dieder-Gruppe der Ordnung als Galois-Gruppe besitzen, ist gegeben durch den Ausdruck
wobei , falls , und o. E. , und sonst .
[1] | H. Hasse, Arithmetische Theorie der kubischen Zahlkörper auf klassenkörpertheoretischer Grundlage, Math. Zeitschrift 31 (1930), 565-582 |
[2] | D. C. Mayer, Multiplicities of dihedral discriminants, Math. Comp. 58 (1992), no. 198, 831-847, S55-S58 |
[3] | D. C. Mayer, Discriminants of metacyclic fields, Canad. Math. Bull. 36 (1993), no. 1, 103-107 |
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