15. ÖMG-Kongress
Jahrestagung der Deutschen Mathematikervereinigung

16. bis 22. September 2001 in Wien

Sektion 2 - Zahlentheorie
Montag, 17. September 2001, 16.30, Hörsaal 41

 

Ziffernsysteme und Entropie

Mario Lamberger, TU Graz

 

Ein klassischer Satz von Jessen und Wintner besagt, dass die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable der Form $Z = \sum_{n \ge 1} X_n \beta^{-n}$ entweder absolut stetig oder singulär ist, wobei $X_n \in \{0,1,\ldots,\lceil\beta\rceil -1\}$ gleichverteilte Zufallsvariablen sind. Erdös bewies in diesem Zusammenhang, dass die Verteilung singulär ist, wenn $\beta > 1$ eine Pisot-Zahl ist. In den 60er Jahren führte Garsia einen Entropie-Begriff für unendliche Bernoulli-Faltungen ein, welcher sich ebenfalls dazu benützen lässt, eine Aussage über die Singularität von obigen Verteilungen zu treffen. Im Allgemeinen ist die Garsia-Entropie aber schwer zu berechnen. [1] und [2] konnten dies für spezielle Fälle, indem sie die Mehrdeutigkeiten der $\beta$-Entwicklungen kombinatorisch untersuchten. [1] benutzten dazu einen graphentheoretischen Ansatz, wir möchten in diesem Vortrag die Methode von [2], welche auf Wortkombinatorik aufgebaut ist, in einem allgemeineren Fall demonstrieren. In beiden Fällen spielt ein durch den subtraktiven euklidischen Algorithmus definiertes Maß eine entscheidende Rolle welches wir im Zusammenhang mit dem singulären Minkowski-Maß ebenfalls weiter studieren.

[1]	J.C.Alexander, D.B.Zagier. ``The entropy of certain infinitely convolved Bernoulli measures.'' J. London. Math. Soc., 44:121-134, 1991
[2]	P.J.Grabner, P.Kirschenhofer, R.F.Tichy. ``Combinatorial and artihmetical properties of digital expansions.'', Combinatorica, 2001

E-Mail:

mlamb@finanz.math.tu-graz.ac.at

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