15. ÖMG-Kongress
Jahrestagung der Deutschen Mathematikervereinigung

16. bis 22. September 2001 in Wien

Sektion 2 - Zahlentheorie
Donnerstag, 20. September 2001, 15.00, Hörsaal 41

 

Wieviele Punkte haben elliptische Kurven über $ \Bbb F_p$?

Ernst-Ulrich Gekeler, Universität des Saarlandes

 

Für die Punktezahl $ N = N(E,\Bbb F_p)$ der elliptischen Kurve $ E$ über dem Primkörper $ \Bbb F_p$ gilt

$\displaystyle \vert p+1-N\vert \leq 2p^{\frac{1}{2}}.$

Es ist bekannt, dass
(a)
alle nach der Ungleichung möglichen Werte von $ N$ angenommen werden und
(b)
die Frobenius-Winkel $ \theta = \theta(E,\Bbb F_p) = {\rm arcos}((p+1-N)/2p^{\frac{1}{2}})$ asymptotisch durch eine $ {\rm sin}^2$-Verteilung beschrieben werden.
Dies bedeutet aber nicht, dass $ N$ einer gewichteten Gleichverteilung unterworfen ist; auß er von $ \theta$ hängt die Frequenz von $ N$ auch z.B. von Kongruenzbedingungen an $ N$ ab. Wir stellen ein stochastisches Modell vor, welches das tatsächliche Verhalten von $ N(E,\Bbb F_p)$ recht gut reproduziert.

E-Mail: gekeler@math.uni-sb.de

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