15. ÖMG-Kongress
Jahrestagung der Deutschen Mathematikervereinigung

16. bis 22. September 2001 in Wien

Sektion 2 - Zahlentheorie
Montag, 17. September 2001, 15.30, Hörsaal 41

 

Zur Verteilung von $(n\alpha)$-Folgen mit transzendentem $\alpha$

Christoph Baxa, Universität Wien

 

Es sei $\alpha$ eine Irrationalzahl mit Kettenbruchentwicklung $\alpha=[a\sb0,a\sb1,a\sb2,\ldots]$. Ein klassisches Resultat der Theorie der Gleichverteilung besagt, daß die Folge $(n\alpha)\sb{n\ge1}$ modulo 1 gleichverteilt ist. Zur quantitativen Untersuchung dieser Tatsache dienen Diskrepanz und $*$-Diskrepanz, die mit $D\sb N(\alpha)$ und $D\sb N\sp *(\alpha)$ bezeichnet werden sollen. Die Verteilung ist optimal, wenn die beiden (äquivalenten) Bedingungen $D\sb N\sp*(\alpha)=O(\log N/N)$ und $D\sb N(\alpha)=O(\log N/N)$ erfüllt sind. Das ist genau dann der Fall, wenn $\alpha$ eine Zahl beschränkter Dichte ist, d.h. $\sum\sb{i=1}\sp ma\sb i=O(m)$. Für solche $\alpha$ betrachtet man die Abbildungen

$$\nu^*(\alpha)=\limsup_{N\to\infty}\frac{N\cdot D_N^*(\alpha)}{\log N}$$   und$$\qquad \nu(\alpha)=\limsup_{N\to\infty}\frac{N\cdot D_N(\alpha)}{\log N}.$$

Wir untersuchen einige Eigenschaften dieser beiden Abbildungen.

E-Mail:	baxa@ap.univie.ac.at
Homepage:	www.mat.univie.ac.at/~baxa/

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