15. ÖMG-Kongress
Jahrestagung der Deutschen Mathematikervereinigung

16. bis 22. September 2001 in Wien

Sektion 14 - Partielle Differentialgleichungen, Variationsmethoden
Donnerstag, 20. September 2001, 16.30, Hörsaal 7

 

Weißes Rauschen in semilinearen elliptischen Differentialgleichungen:der Linearisierungseffekt

Michael Oberguggenberger, Universität Innsbruck (Koautor: Francesco Russo)

 

Wir betrachten das Dirichletproblem

$\displaystyle LU_\varepsilon$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \lambda F(U_\varepsilon) + \dot{W}_\varepsilon \ $   auf$\displaystyle \ \ D\,,$  
$\displaystyle U_\varepsilon\vert\partial D$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0 \ $   längs$\displaystyle \ \ \partial D\,.$  

Dabei ist $ D \subset {\mathbb{R}}^n$ ein beschränktes, glatt berandetes Gebiet, $ L$ ein linearer elliptischer Differentialoperator, $ F$ eine beschränkte, Lipschitz-stetige Funktion, $ \lambda > 0$ ein Kopplungsfaktor und $ \dot{W}_\varepsilon$ eine durch Faltung geglättete Version von Gauß schem weiß en Rauschen $ \dot{W}$. Für hinreichend kleine $ \lambda$ (unabhängig von $ \varepsilon$) gibt es stets eine fast sicher eindeutige Lösung $ U_\varepsilon$ mit glatten Pfaden. Wir vergleichen diese mit den Lösungen $ V_\varepsilon$ des freien Problems
$\displaystyle LV_\varepsilon$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \dot{W}_\varepsilon \ $   auf$\displaystyle \ \ D\,,$  
$\displaystyle V_\varepsilon\vert\partial D$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0\,,$  

welche für $ \varepsilon \to 0$ gegen eine verallgemeinerte Lösung $ V$ der Gleichung $ LV = \dot{W}$ konvergieren. Für $ n \leq 3$ ist dabei $ V$ ein Prozess mit stetigen Pfaden, für $ n \geq 4$ ein verallgemeinerter stochastischer Prozess.

Ziel des Vortrags ist der Nachweis des Linearisierungseffektes: Für eine groß e Klasse von nichtlinearen Funktionen $ F$ (nämlich aller beschränkten Funktionen, deren Fouriertransformierte in 0 keine Masse besitzt) konvergiert im Falle $ n \geq 4$ die Differenz $ U_\varepsilon - V_\varepsilon$ im Quadratmittel gegen Null. Die Lösungen der nichtlinearen Gleichung verhalten sich also wie jene der linearen Gleichung. Der Beweis beruht auf einem Lemma der Autoren über Funktionen mit in Null masseloser Fouriertransformierten und Abschätzungen der Varianz und Kovarianz der freien Lösung $ V_\varepsilon(x), x \in D$, für $ \varepsilon \to 0$. Der Linearisierungseffekt wurde auch bei semilinearen hyperbolischen, parabolischen und Schrödinger-Gleichungen nachgewiesen.

E-Mail: michael@mat1.uibk.ac.at
Homepage: techmath.uibk.ac.at

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