15. ÖMG-Kongress
Jahrestagung der Deutschen Mathematikervereinigung

16. bis 22. September 2001 in Wien

Sektion 12 - Wahrscheinlichkeitstheorie, Statistik
Montag, 17. September 2001, 18.00, Hörsaal 7

 

Geometrische Ergodizität und Mischungseigenschaften nichtlinearer autoregressiver Modelle

Eckhard Liebscher, TU Ilmenau

 

Gegeben sei das das lineare autoregressive Modell

$\displaystyle X_{t+1}=AX_{t}+\eta _{t+1}\quad (t=0,1,\ldots ,A\in \Bbb{R}^{p\times p}) $

für die Zeitreihe $ \{X_{t}\}$, wobei $ X_{t}$ ein $ p$-dimensionaler Zufallsvektor ist. $ \eta _{1},\eta _{2},\ldots $ sei eine Folge unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvektoren mit Erwartungswert 0. Bekanntlich ist $ \{X_{t}\}$ geometrisch ergodisch, falls der Spektralradius der Matrix $ A$ kleiner als 1 ist (siehe [4]). Für nichtlineare autoregressive Modelle gibt es in der Literatur mehrere Ansätze zum Nachweis der geometrischen Ergodizität, die entsprechenden Voraussetzungen sind im Vergleich zum linearen Fall jedoch wesentlich einschränkender (siehe z.B. [1], [2] und [3]). Im Vortrag wird das nichtlineare autoregressive Modell

$\displaystyle X_{t+1}=G(X_{t})+\eta _{t+1}\quad (t=0,1,\ldots ) $

($ X_{t}$ aus $ \Bbb{R}^{p}$, $ \{\eta _{t}\}$ wie oben) betrachtet. Wir geben eine hinreichende Bedingung für die geometrische Ergodizität dieses Modells an, die als direkte Verallgemeinerung der entsprechenden Bedingung des linearen Falls angesehen werden kann.

Im Vortrag wird auß erdem auf skalare autoregressive Modelle höherer Ordnung und heteroskedastische Modelle eingegangen und der Zusammenhang zwischen geometrischer Ergodizität und der $ \beta $-Mischungsbedingung (absolute Regularität) erläutert.

[1] An, H.Z. und Huang, F.C. (1996) The geometrical ergodicity of nonlinear autoregressive models, Stat. Sin. 6, 943-956.
[2] Ango Nze, P. (1992) Critères d'ergodicité de quelques modèles à représentation markovienne, C.R. Acad. Sci. Paris, Série I, 315, 1301-1304.
[3] Diebolt, J. and Guegan, D. (1993) Tail behaviour of the stationary density of general non-linear autoregressive processes of order 1, J. Appl. Probab. 30, 315-329.
[4] Tjøstheim, D. (1990) Non-linear time series and Markov chains, Adv. Appl. Prob. A 22, 587-611.

E-Mail: lieb@mathematik.tu-ilmenau.de

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