15. ÖMG-Kongress
Jahrestagung der Deutschen Mathematikervereinigung

16. bis 22. September 2001 in Wien


Sektion 11 - Numerische Mathematik, Wissenschaftliches Rechnen
Donnerstag, 20. September 2001, 17.30, Hörsaal 47

 

Schnelle Approximation auf Tensorprodukt-Strukturen

Karl-Heinz Brakhage, RWTH Aachen

 

In vielen Bereichen mathematischer Modellierung und Simulation werden Tensorprodukte verwendet. Insbesondere Tensorprodukt-Flächen, in der Regel Splines, und in letzter Zeit auch Volumina sind von großer Bedeutung. Wählt man einen derartigen Ansatz, so taucht oft das Problem der Interpolation bzw. Approximation auf. Dabei entstehen normalerweise bandstrukturierte Koeffizientenmatrizen. Die bei der Approximation üblicherweise benutzte least-squares-Methode führt auf Tensorprodukte obiger Matrizen. Diese haben Block-Bandstruktur, sind also immmer noch dünn besetzt. Bei der Lösung sowohl per Normalgleichungen also auch per orthogonaler Transformationen werden die Bereiche innerhalb der Bänder aber gefüllt. Eine geringfügige Änderung des least-squares-Ansatzes ermöglicht es, orthogonale Transformationen basierend auf den Ausgangsmatrizen zu realisieren. Schreibt man im Zweidimensionalen die rechte Seite als Matrix statt Vektor, geht man von der Schur-Norm (entspricht der 2-Norm als Vektor) zur 2-Norm der Matrix über, deren Äquivalenz bekannt ist. So kann sowohl der Speicherbedarf als auch die Rechenzeit drastisch reduziert werden. Je nach Komprimierungsrate (Anzahl der Meßungen zu Anzahl der Unbekannten) führen verschiedene Strategien zur Durchführung der orthogonalen Transformationen zu einer weiteren Zeitersparnis. Zahlreiche Beispiele belegen die Effizienz des Verfahrens. Insbesondere kann man so auch Berechnungen für derartig komplexe Aufgaben durchführen, die mit den herkömmlichen Methoden nicht möglich sind.

E-Mail: brakhage@igpm.rwth-aachen.de
Homepage: www.igpm.rwth-aachen.de/~brakhage


Zeitplan der Sektion   Tagesübersicht   Liste der Vortragenden