15. ÖMG-Kongress
Jahrestagung der Deutschen Mathematikervereinigung

16. bis 22. September 2001 in Wien


Sektion 6 - Topologie, Differentialgeometrie
Montag, 17. September 2001, 17.00, Hörsaal NIG III

 

Universelle Komplexifizierungen unendlich-dimensionaler Liegruppen

Helge Glöckner, Universität Göttingen

Folgende Ergebnisse werden vorgestellt.

Satz 1. Es sei $ G$ eine reelle Banach-Liegruppe und $ N$ ein abgeschlossener Normalteiler von $ G$. Dann ist die topologische Quotientengruppe $ G/N$ eine reelle Banach-Liegruppe genau dann, wenn $ N$ in der von $ G$ induzierten Topologie eine Banach-Liegruppe ist (in welchem Falle wir $ N$ eine Lie-Unterguppe von $ G$ nennen, unabhängig davon, ob $ L(N)$ in $ L(G)$ komplementiert ist oder nicht).

Satz 2. Gegeben eine reelle Banach-Liegruppe $ G$, so sei $ N$ der Schnitt aller Kerne stetiger Homomorphismen von $ G$ in komplexe Banach-Liegruppen. Dann besitzt $ G$ eine universelle Komplexifizierung $ G_C$ in der Kategorie komplexer Banach-Liegruppen genau dann, wenn $ N$ eine Lie-Untergruppe von $ G$ ist und $ (L(G)/L(N))_C$ eine integrable Banach-Liealgebra. Existiert $ G_C$ und ist $ N$ diskret, so ist $ G_C$ die universelle Komplexifizierung von $ G$ in der Kategorie aller komplexen Liegruppen mit komplex-analytischer Exponentialfunktion.

Beispiele reeller Banach-Liegruppen mit und ohne universelle Komplexifizierungen werden beschrieben. Die Sätze 1 und 2 bleiben gültig, wenn man Banach-Liegruppen durch Baker-Campbell-Hausdorff (BCH-) Liegruppen ersetzt, d.h. auf beliebigen lokalkonvexen Räumen modellierte analytische Liegruppen, deren Exponentialfunktion an der 0 ein lokaler analytischer Diffeomorphismus ist und deren Multiplikation lokal durch die BCH-Reihe gegeben ist.

[1] Glöckner, H. und K.-H. Neeb, Banach-Lie quotients, enlargibility, and universal complexifications, Louisiana State University, Baton Rouge, Preprint 2001-4, April 2001.
[2] Glöckner, H., Lie group structures on quotient groups and universal complexifications for infinite-dimensional Lie groups, LSU Preprint 2001-8, Juni 2001.

E-Mail: gloeckne@uni-math.gwdg.de


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