15. ÖMG-Kongress
Jahrestagung der Deutschen Mathematikervereinigung

16. bis 22. September 2001 in Wien

Sektion 2 - Zahlentheorie
Dienstag, 18. September 2001, 17.30, Hörsaal 41

 

Über die Anzahl der Untergruppen von endlichen Abelschen Gruppen

Hartmut Menzer, Friedrich-Schiller-Universität Jena

 

Es sei

$$T_3(x)=\sum_{\vert G\vert\leq x \atop r(G)\leq 3} \tau(G)\,,$$

hierbei bezeichne $\tau(G)$ die Anzahl der Untergruppen von einer endlichen Abelschen Gruppe $G,\, r(G)$ den Rang von $G$ und $\vert G\vert$ die Ordnung von $G$. Weiterhin sei $H_3(s)$ durch die Dirichlet-Reihe

$$H_3(s)= \sum^\infty_{n=1} t_3(n)\, n^{-s}\quad ({\rm Re}(s)>1)\,,$$

mit der ``level function'' $t_3(n)=\sum\limits_{\vert G\vert=n \atop r(G)\leq 3} \tau(G)$ bezüglich $\tau(G)$ definiert.

G. Bhowmik und J. Wu bewiesen im Jahre 1997 für $T_3(x)$ folgende asymptotische Entwicklung. Es gilt

$$T_3(x)=x\,P_4(\log{x}) + \Delta(x)~{\rm mit }~\Delta(x)\ll x^{14/17} \log^6x,~ 14/17 = 0.82352\ldots$$

(hierbei bedeutet $P_4(z)$ ein Polynom vom Grad 4).
Durch Kombination von drei verschiedenen Resultaten aus der Theorie höherdimensionaler Exponentialsummen wird für das Restglied $\Delta(x)$ die verbesserte Abschätzung $\Delta (x) \ll x^\alpha\, \log^8x\,, ~ \alpha=\frac{5l-3k+4}{6l-4k+5}$ vorgestellt, wenn man für $(k,l)$ geeignete Exponentenpaare auf der Basis des Graham-Algorithmus einsetzt. Bereits bei Verwendung des ``klassischen'' Exponentenpaares $(k,l)=\left(\frac{1}{30}~,\frac{26}{30}\right)$ erhält man für $\alpha=247/302,~ 247/302=0.81788\ldots$.

E-Mail:	menzer@minet.uni-jena.de
Homepage:	www.mathematik.uni-jena.de/algebra/personen/menzer.html

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