15. ÖMG-Kongress
Jahrestagung der Deutschen Mathematikervereinigung

16. bis 22. September 2001 in Wien

Sektion 14 - Partielle Differentialgleichungen, Variationsmethoden
Donnerstag, 20. September 2001, 17.00, Hörsaal 7

 

Ergebnisse zum Stokesschen Eigenwertproblem im offenen Quadrat

Bernd Rummler, Otto-von-Guericke Universität Magdeburg

 

Die Stokesschen Eigenfunktionen in beschränkten Gebieten spannen auch im Falle von $C^{0,1}$-Gebietn den örtlichen Lösungsraum ${\bf S}$ der inkompressiblen Navier-Stokesschen Gleichungen ${\bf S}$ auf. Standardargumente der Theorie elliptischer Systeme liefern in natürlicher Weise die Vollständigkeit des nicht explizit bekannten Systems der Stokesschen Eigenfunktionen in ${\bf S}$. Bisher ist es jedoch noch nicht gelungen, Eigenwerte und Eigenfunktionen des Stokes Operators für $C^{0,1}$-Gebiete mit homogenen Dirichletschen Randbedingungen auf dem ganzen Rand explizit anzugeben. Als Beispiel untersuchen wir den Stokes Operator im offenen Quadrat mit Hilfe von konstruktiven funktionalanalytischen Methoden, die sowohl eine geeignete Helmholtz-Zerlegung als auch angepaßte Hilbertsche Folgenräume nutzen. Wir skizzieren im Vortrag die Idee eines konstruktiven Vollständigkeitsbeweises, bei dem neben der Vollständigkeit auch die explizite Darstellung der Stokesschen Eigenfunkionen im Quadrat erzielt werden kann. Insbesondere geben wir als erstes Resultat eine verbesserte Abschätzungen des kleinsten Eigenwertes nach oben. Abschließend zeigen wir erste Anwendungen der Resultate und die Grenzen der Beweistechnik auf.

E-Mail:

bernd.rummler@mathematik.uni-magdeburg.de

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