15. ÖMG-Kongress
Jahrestagung der Deutschen Mathematikervereinigung

16. bis 22. September 2001 in Wien

Sektion 13 - Dynamische Systeme, Kontrolltheorie
Freitag, 21. September 2001, 14.30, Hörsaal 16

 

Zur Stabilität von Differenzengleichungen mit variablen Koeffizienten

Fritz G. Boese, Max-Planck-Institut für extraterrestrische Physik, Garching

 

Es werden lineare dynamische Systeme der zeitunabhängigen Ordnung $N\in{\bf N}$ in diskreter Zeit $t\in{\bf N}_0$ mit skalarem komplexen Zustand $x_t\in{\bf C}$, die für beliebig gegebene komplexe Anfangszustände $X_{-N}$ bis $X_{-1}$, durch

$$x_t:=\left\{\begin{array}{*2{l}} a_{t,1}x_{t-1}+\cdots+a_{t,N}x_{t-N}, &t\ge0,\\ X_t, &t=-N,\cdots,-1, \end{array} \right.$$ (1)

beschrieben werden, betrachtet. Die Systeme treten bei adaptiven Filtern, Systemidentifikation, Fehler-toleranten Systemen und bei nichtlinearen Systemen auf.

Es werden hinreichende Stabilitätskriterien für (a) Stabilität gegen Variation der Anfangszustände und (b) Stabilität im Sinne von bounded-input bounded-output vorgestellt. Zu den Kriterien gelangen wir dadurch, daß dem System (1) $N$-ter Ordnung (nichttrivial) ein System erster Ordnung mit $N$-dimensionalen Zustand in ${\bf C}^N$ zugeordnet wird. Mit wachsender Ordnung werden die Kriterien besser.

Weiters wird eine explizite Lösungsdarstellung für den Zustand $x_t$ vorgestellt. Resultate von Popenda [1] und Mallik [2] (und anderen) werden dabei verallgemeinert und einsichtiger gemacht. Auf die Ergebnisse im multivariaten Fall, also für partielle Differenzengleichungen, wird eingegangen.

[1]	J. Popenda, One expression for the solution of a second order linear difference equation with variable coefficients, Proc. Amer. Math. Soc. 100(1987)1, 87-93.
[2]	R. K. Mallik, On the solution of a linear difference equations with variable coefficients, SIAM J. Math. Anal. 31(2000)2, 375-385.

E-Mail:	gub@mpe.mpg.de
Homepage:	www.rosat.mpe-garching.mpg.de/~gub

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