15. ÖMG-Kongress
Jahrestagung der Deutschen Mathematikervereinigung

16. bis 22. September 2001 in Wien

Sektion 11 - Numerische Mathematik, Wissenschaftliches Rechnen
Dienstag, 18. September 2001, 18.00, Hörsaal 47

 

Approximation durch modifizierte Szász-Mirakjan-Operatoren

Jozsef Gróf, University of Veszprém

 

Ausgegangen von dem Szász-Mirakjan-Operator

$$S_{n}(f;x):=e^{-nx}\sum\limits_{k=0}^{\infty}f\left( \frac{k}{n}\right) \frac{\left( nx\right) ^{k}}{k!}\qquad(x\geq0,$$ $$n=1,2,3...)$$

definierten wir die folgende Modifizierung von Operator $S_{n}$ - bezeichnet mit $H_{n}:$

$$H_{n}(f;x):=\frac{1}{e^{nx}+e^{-nx}}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\le... ...ht) ^{k}f\left( -\frac{k}{n}\right) \right] \frac{\left( nx\right) ^{k}}{k!}%%$$

$$/-\infty<x<\infty,$$ $$n=1,2,3,.../$$

Die Operatoren $S_{n}$ und $H_{n}$ besitzen ähnliche Approximationseigenschaften, die Ähnlichkeit besteht aber nicht in jeder Hinsicht, z.B.:

1. $S_{n}$ ist ein positiver Operator, $H_{n}$ ist nicht positiv;
2. $S_{n}$ ist nur auf der nichtnegativen Seite der Zahlengeraden zur Approximation geeignet, $H_{n}$ ist auf der ganzen Zahlengeraden benutzbar.
3. Ist $f$ beschränkt und im Punkt $x$ stetig, so gilt $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}S_{n}\left( f;x\right) =f(x),$ die Behauptung $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}H_{n}\left( f;x\right) =f(x)$ kann aber falsch sein.

Im Vortrag untersuchen wir die Bedingungen der Konvergenz $\lim \limits_{n\rightarrow\infty}H_{n}\left( f;x\right)=f(x),$ und zwar im Sinne der gleichmässige Konvergenz auf der ganzen Zahlengeraden.

E-Mail:

grofj@almos.vein.hu

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