15. ÖMG-Kongress
Jahrestagung der Deutschen Mathematikervereinigung

16. bis 22. September 2001 in Wien

Sektion 10 - Angewandte Mathematik, Industrie- und Finanzmathematik
Montag, 17. September 2001, 16.30, Hörsaal 42

 

Entwicklung eines Inversionsschemas für die Laplace-Transformation mit einer Anwendung in der Röntgen-Diffraktometrie

Thomas Schuster, Universität des Saarlandes

 

Bei der Röntgen-Diffraktometrie handelt es sich um eine Form des zerstörungsfreien Prüfens. Es wird versucht mit Hilfe von Röntgenstrahlen den Spannungstensor $\sigma_{ij}$ eines Werkstückes zu rekonstruieren. Unter Beachtung des Hook'schen Gesetzes und der Bragg'schen Bedingung erhält man folgende Beziehung zwischen der Differenz der Glanzwinkel der verspannten und der unverspannten Probe einerseits, und dem Spannungstensor $\sigma_{ij}$ andererseits:

$$\theta_0-\theta_{\varphi,\psi}(\tau_\psi) = \sum_{j=1}^3 \alpha_{ij} (\varphi,\psi)\,\check{\sigma}_{ij}(\tau_\psi)=:g(\varphi,\psi)\,.$$

Dabei ist

$$\check{\sigma}_{ij}(\tau) = \tau^{-1}\int\limits_0^\infty \sigma_{ij}(z)\,e^{-z/\tau}\,dz$$

die reziprok Laplace-Transformierte von $\sigma_{ij}$. Die Rückgewinnung des Spannungstensors aus den Daten $g$ erfordert daher einen stabilen Inversionsalgorithmus für die Laplace-Transformation. Dazu wird das Verfahren der approximativen Inversen herangezogen, d.h. man berechnet statt der gesuchten Objektfunktion $f$, Momente $f_\gamma(y) = \langle f,e_\gamma(\cdot,y) \rangle$ von $f$ mit sogenannten Mollifiern $e_\gamma$. Liegen diese im Bild des Adjungierten der Laplace-Transformation $L^\ast$, so reduziert sich die Berechnung von $f_\gamma$ auf die Berechnung von Skalarprodukten der gegebenen Daten $L f=g$ mit sogenannten Rekonstruktionskernen $\psi_\gamma(y)$:

$$f_\gamma(y) = \langle f,e_\gamma(\cdot,y) \rangle = \langle g,\psi_\gamma(y) \rangle\,,$$

wobei $L^\ast \psi_\gamma(y)=e_\gamma(\cdot,y)$ gilt. Im Vortrag wird zunächst ein Mollifier konstruiert, der an das Bild von $L^\ast$ angepaßt ist, anschließend werden die zugehörigen Rekonstruktionskerne durch ein Kollokationsverfahren bestimmt. An eine Konvergenzabschätzung für die Kerne schließen sich numerische Ergebnisse an, die die Wirksamkeit des Verfahrens auch bei gestörten Daten hervorheben.

E-Mail:	thomas.schuster@num.uni-sb.de
Homepage:	www.num.uni-sb.de

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