15. ÖMG-Kongress
Jahrestagung der Deutschen Mathematikervereinigung

16. bis 22. September 2001 in Wien

Sektion 6 - Topologie, Differentialgeometrie
Freitag, 21. September 2001, 16.00, Hörsaal NIG III

 

Triangulierte Mannigfaltigkeiten mit wenigen Ecken

Frank Lutz, TU Berlin (Koautoren: Anders Björner, Ekkehard Köhler und Wolfgang Kühnel)

 

In den Anfangstagen der Topologie wurden Invarianten von Mannigfaltigkeiten vorwiegend anhand von Triangulierungen berechnet. Da das Hauptinteresse den Mannigfaltigkeiten selbst und nicht ihrer kombinatorischer Struktur gilt, wuchs im letzten Jahrhundert das Bestreben, weg von Triangulierungen zu kommen, und kombinatorische Hilfsmittel wurden stückweise durch algebraische ersetzt. Während Triangulierungen für diskrete Geometer und $PL$-Topologen weiterhin von Interesse blieben, hat das Aufkommen leistungsfähiger Computer die Gesamtsituation merklich verändert: Es ist mittlerweile möglich, kompakte Mannigfaltigkeiten mit Hilfe eines Rechners zu analysieren.

In diesem Vortrag sollen Computer-Methoden vorgestellt werden, die zum Experimentieren mit Triangulierungen verwendet werden können, insbesondere mit dem Ziel, minimale oder anderweitig interessante Triangulierungen zu konstruieren. Mit Hilfe einer Heuristik, welche, basierend auf bistellaren Flips, die Triangulierung einer Mannigfaltigkeit lokal modifiziert, gelang es, minimale Triangulierungen von $S^2\times S^2$, $S^3\times S^2$, $S^3\times S^3$ und ${\bf R}{\bf P}^{\,4}$ zu gewinnen. Ebenso wurde eine Triangulierung der Poincaréschen Homologie-$3$-Sphäre auf $16$ Ecken gefunden, die der Startpunkt für eine Serie von nicht-$PL$ $d$-Sphären ($d\geq 5$) mit $d+13$ Ecken ist. Zudem erwies sich die Heuristik als äußerst hilfreich zum Erkennen des Homöomorphietyps einer Mannigfaltigkeit, was für eine Vielzahl eckentransitiver Mannigfaltigkeiten mit wenigen Ecken erfolgreich durchgeführt werden konnte.

E-Mail:	lutz@math.tu-berlin.de
Homepage:	www.math.TU-Berlin.de/~lutz/

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