15. ÖMG-Kongress
Jahrestagung der Deutschen Mathematikervereinigung

16. bis 22. September 2001 in Wien

Sektion 6 - Topologie, Differentialgeometrie
Montag, 17. September 2001, 15.30, Hörsaal NIG III

 

Symplektische Strukturen und Geometrie

Jan Fricke, Ernst Moritz Arndt Universität Greifswald (Koautor: Lutz Habermann)

 

Sei $M$ eine geschlossene Mannigfaltigkeit, für die der Raum ${\cal S}(M)$ der symplektischen Formen auf $M$ nichtleer ist. Bekanntlich ist der Faktorraum ${\cal S}(M)/{\cal D}_0(M)$ von ${\cal S}(M)$ nach der Einheitskomponente ${\cal D}_0(M)$ der Diffeomorphismengruppe von $M$ eine endlichdimensionale Mannigfaltigkeit, dessen Tangentialraum in jedem Punkt $[\omega]$ zur 2. de Rham-Kohomologie $H^2(M)$ isomorph ist.
Im Vortrag wird die Konstruktion einer Riemannschen Metrik auf dem Modulraum ${\cal S}(M)/{\cal D}_0(M)$ vorgestellt. Dazu wird ein symmetrischer $2$-Tensor auf ${\cal S}(M)$ definiert. Dieser induziert in natürlicher Weise einen symmetrischen Tensor auf ${\cal S}(M)/{\cal D}_0(M)$, falls jede 2. Kohomologieklasse eine $\omega$-harmonische Form enthält, d.h. eine $2$-Form $\vartheta$ mit $d\vartheta = d*_\omega\vartheta = 0$, wobei $*_\omega$ das symplektische Analogon zum Hodge-Operator ist. Die Brylinski-Vermutung [1] besagt, daß in jeder beliebigen Kohomologieklasse solch eine Form liegt. Es gibt Gegenbeispiele gegen diese Vermutung, aber sie gilt stets für die zweite Kohomologie [2].
Die Metrik, die im allgemeinen pseudo-Riemannsch ist, wird für einige Beispielklassen berechnet.

[1]	J.-L. Brylinski: A differential complex for Poisson manifolds. J. Differential Geometry 28, 93-114, 1988.
[2]	Oliver Mathieu: Harmonic Cohomology Classes of Symplectic Manifolds. Comment. Math. Helv. 70, No.1, 1-9 (1995).

E-Mail:

fricke@uni-greifswald.de

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