Sektion 8 - Funktionentheorie

Der kanonische Lösungsoperator für $\overline \partial .$

Friedrich Haslinger, Universität Wien

Sei $\Omega$ ein beschränktes Gebiet $\mathbb{C}^n$ und $A^2(\Omega )$ der Bergman Raum aller holomorphen Funktionen $f:\Omega \longrightarrow \mathbb{C}$ sodass

$$\int_{\Omega } \vert f(z)\vert^2\,d\lambda(z) < \infty ,$$

wobei $\lambda$ das Lebesgue Maß in $\mathbb{C}^n$ ist. Wir lösen die $\overline \partial$-Gleichung $\overline \partial u = g,$ wobei $g=\sum_{j=1}^{n}g_j\,d\overline z_j$ eine $(0,1)$-Form mit Koeffizienten $g_j \in A^2(\Omega ), \ j=1, \dots n$ ist mit $u\perp A^2(\Omega )$ (kanonische Lösung). Zunächst zeigen wir, dass der kanonische Lösungsoperator für $\overline \partial$ eingeschänkt auf die $(0,1)$-Formen mit holomorphen Koeffizienten als Integraloperator mit Hilfe des Bergman Kernes ausgedrückt werden kann. Dieses Resultat wird dazu verwendet zu zeigen, dass, im Falle des Einheitskreises in $\mathbb{C} ,$ der kanonische Lösungsoperator für $\overline \partial$ eingeschränkt auf $(0,1)$-Formen mit holomorphen Koeffizienten ein Hilbert-Schmidt Operator ist. Für den Polyzylinder und für die Einheitskugel in $\mathbb{C}^n \ , \ n\ge 2,$ ist der entsprechende Operator nicht mehr Hilbert-Schmidt. Wir betrachten auch die Bergman Räume $A^2(D, d\mu),$ wo $D$ eine Kreisscheibe in $\mathbb{C}$ und $d\mu (z) = m(z)d\lambda (z)$ ist, mit einer radialsymmetrischen Gewichtsfunktion $m.$ Hier wird noch vorausgesetzt, dass die Funktionen $\{z^n \}, \ n\in \mathbb{N}_0$ eine orthogonale Basis in $A^2(D, d\mu)$ bilden. Dann erhält man notwendige und hinreichende Bedingungen für die Kompaktheit und die Hilbert-Schmidt Eigenschaft des kanonischen Lösungsoperators für $\overline \partial$ durch Eigenschaften der Folge $(c_n)_n,$ wobei

$$c_n^2= \int_D \vert z\vert^{2n}\,d\mu (z).$$

Schließlich wird auch noch der Fock Raum

$$F=\{ f:\mathbb{C}^n \longrightarrow \mathbb{C}\ {\text ganz} \ : ... ...thbb{C}^n }\vert f(z)\vert^2 \, \exp (-\vert z\vert^2)\,d\lambda (z)< \infty \}$$

behandelt.

E-Mail:	friedrich.haslinger@univie.ac.at
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