15. ÖMG-Kongress
Jahrestagung der Deutschen Mathematikervereinigung

16. bis 22. September 2001 in Wien

Sektion 3 - Diskrete Mathematik, Algorithmen
Donnerstag, 20. September 2001, 17.00, Hörsaal 23

 

Über eine Klasse diophantischer Gleichungen kombinatorischen Ursprungs

Oliver Pfeiffer, Montanuniversität Leoben

 

In Arbeiten von Hajdu (1998) und Kirschenhofer, Pethö und Tichy (1999) wurde die Anzahl der ganzzahligen Lösungen von polynomialen diophantischen Gleichungen der Form $p_n(x)=p_m(y)$ mit Polynomen $p_n(x)$ untersucht, die den folgenden kombinatorischen Ursprung haben. Sei $p_n(k)=\lvert\{(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{Z}^n\mid \sum_{1\leq i\leq n}\lvert x_i\lvert\leq k\}\lvert$ die Anzahl der ganzzahligen Gitterpunkte in einem $n$-dimensionalen Oktaeder der Größ e $k$. In der Arbeit von Kirschenhofer, Pethö und Tichy wird über den analytischen Umweg einer erzeugenden Funktion eine Rekursion zweiter Ordnung für die $p_n(k)$ gewonnen. Für diese Rekursion geben wir einen direkten kombinatorischen Beweis sowie einige weitere kombinatorische Interpretationen. Anhand der Rekursion stellt sich in dieser Arbeit weiter heraus, daß die $p_n(x)$ mit den orthogonalen Meixner-Pollaczek-Polynomen über $q_n(x)=i^nn!p_n(-1/2-ix/2)$ zusammenhängen. Die Lage ihrer Nullstellen, die sich aus dieser Orthogonalität ergibt, spielt dann eine zentrale Rolle bei der Bestimmung der Anzahl der ganzzahligen Lösungen der angesprochenen diophantischen Gleichung. Dieses Ergebnis verallgemeinern wir auf Polynome $r_n^{(g)}(u)$, denen als kombinatorisches Modell gefärbte Permutationen zugrundeliegen.

E-Mail:

oliver.pfeiffer@unileoben.ac.at

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