Enden sind Äquivalenzklassen von Strahlen. In lokalendlichen Graphen sind alle Definitionen von Enden äquivalent, wohingegen es in nicht lokalendlichen Graphen bis jetzt weder eine einheitliche Begriffsbildung noch vergleichende Untersuchungen gegeben hat.
Halin nennt Strahlen äquivalenten, wenn sie nach dem Entfernen von endlich vielen Ecken stets in der selben Zusammenhangskomponente des Graphen liegen. Diestel, Jung, Möller, Polat, Waas etc. haben diese Begriffsbildung verwendet.
Auf dem Prinzip des Entfernens von endlich vielen Kanten bauen die Arbeiten beispielsweise von Cartwright, Dicks, Dunwoody, Soardi, Stallings und Woess auf. Letztere Definition hat auch in der Gruppentheorie und im Bereich der Irrfahrten Anwendung gefunden.
Ersetzt man Abzähl-Argumente durch Argumente, die auf der Endlichkeit des Durchmessers einer Menge beruhen, können nicht nur zahlreiche Resultate verallgemeinert werden, sondern man erhält die metrische Endenkompaktifizierung, siehe [1]. Sie ist aus mehreren Gründen den bisherigen Definitionen vorzuziehen. Zum Beispiel setzten sich Quasiisometrien zwischen Graphen in natürlicher und eindeutiger Weise auf die metrischen Enden fort und sind dort topologische Isomorphismen der metrischen Endenräume.
| [1] | B. Krön. End compactifications in non-locally-finite graphs. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., to appear. |
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